Archive for diciembre 2017
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
6. MATRICES Y DETERMINANTES
Una matriz orden (m ´ n) es un conjunto de m ´ n números ordenados en una tabla:
en donde podemos apreciar horizontalmente las filas, fila 1: (
 ), fila 2: (  ), etc. Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, etc.
Por tanto, una matriz de orden (m ´ n) tiene m filas y n columnas. En caso de que el número de filas y el de columnas sea el mismo se habla de matriz cuadrada.
Las matrices cuadrada tienen dos diagonales, de las cuales sobre un ejemplo vemos la que se llama "diagonal principal" de la matriz:
Para tratarlas teóricamente las matrices se suelen expresar en forma abreviada así:
es decir, con un nombre propio y dos subíndices, aij, siendo el primer subíndice -en nuestro caso el i- el correspondiente a la fila i-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta m; y el segundo subíndice -en nuestro caso la j- es el correspondiente a la columna j-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta n. El alumno debe ser muy consciente de este significado de los índices.
6.2 Operaciones con matrices.
* ADICIÓN:
Sean A y B son dos matrices del mismo orden , entonces la matriz suma S = A + B es:
es decir, se suman los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B. Ejemplo:
* PRODUCTO POR UN ESCALAR:
Sea A una matriz y k un escalar (un número real), entonces la matriz B = k A es:
es decir, se multiplica cada elemento de la matriz A por el número k. Ejemplo:
Considerando esto, podemos hablar de la RESTA de dos matrices A - B, como la suma de A con el producto de (-1)B, lo cual equivale a restar los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B.
* PRODUCTO DE MATRICES:
Sea A una matriz de orden (m ´ n), y B una matriz de orden (n ´ r), entonces la matriz producto, es una matriz P = A . B de orden (m ´ r):
(Observe el alumno cómo para obtener el elemento pij, se multiplican cada elemento de la fila i de A por cada elemento respectivo de la columna j de B). Tomemos como ejemplo las matrices A , tipo (3 ´ 2), y B, tipo (2 ´ 4):
Así obtenemos P = A . B, cuyo resultado es:
en la que se han ido obteniendo los elementos multiplicando fila de A por columna de B (por ejemplo):
Mejor veámoslo gráficamente:
Propiedades del producto de matrices:
6.3 Matrices cuadradas.
Las matrices cuadradas juegan un papel fundamental en el cálculo matricial. En ellas el número de filas es el mismo que el de columnas:
en este caso hablaremos de "matriz cuadrada de orden n". Dadas dos matrices A y B que sean del mismo orden (orden n, por ejemplo), podemos realizar A+B y A.B, puesto que el producto de dos matrices de orden n es otra matriz de orden n.
* Matriz identidad (orden n):
Es una matriz cuadrada (orden n), representada como In, en la que todos sus elementos son 0, excepto los de la diagonal principal, que son unos:
Esta matriz cumple la siguiente propiedad: A . In = In . A = A
es decir, al multiplicarla por cualquier matriz A, vuelve a dar la misma A. En otras palabras, In representa el elemento unitario para el producto de matrices. Teniendo en cuenta ello, puede hablarse de matriz inversa de una matriz dada.
En concreto, sea A una matriz cuadrada (orden n), diremos que A es inversible si existe otra matriz B tal que:
A . B = B . A = In
en este caso, a la matriz B la llamaremos inversa de A, y la representaremos A¯¹, así podremos expresar mejor:
A . A¯¹ = A¯¹. A = In
No para toda matriz A puede encontrarse su matriz inversa, enseguida veremos las condiciones que deben cumplir las matrices para ser inversibles, antes veamos un repaso de otras matrices notables.
* Matrices especiales
Matriz traspuesta de A:
(NOTA: El concepto de matriz traspuesta no es exclusivo de matrices cuadradas.) Sea una matriz A de orden (m ´ n), se llama "matriz traspuesta de A", a una matriz, tA, de orden (m ´ n), obtenida a partir de A, cambiando filas por columnas.
Por ejemplo:
Las matrices traspuestas tienen especial importancia para matrices cuadradas.
Propiedades de matrices traspuestas:
1. t(tA) = A
2. t(A + B) = tA + tB 3. t(A . B) = tB . tA
Matriz simétrica:
Una matriz A es "simétrica" si coincide con su traspuesta, es decir si: A = tA. Por ejemplo:
Matriz antisimétrica:
Una matriz A es "antisimétrica" si su opuesta coincide con su traspuesta, es decir si : -A = tA. Por ejemplo:
Matriz ortogonal:
Una matriz A es "ortogonal" si su inversa es igual a su transpuesta, es decir: A¯¹ = tA. En este caso, también se tiene que: A . tA = In .
6.4 Matriz inversa de una matriz cuadrada.
Antes de comenzar el alumno debería repasar el tema de determinantes, en especial la cuestión sobre menores complementarios y adjuntos.
Sea la matriz cuadrada:
si su determinante, |A|, es no nulo, entonces diremos que la matriz A es inversible, es decir, existe una matriz inversa, A¯¹ , tal que:
A . A¯¹ = A¯¹. A = In
Es posible comprobar que la matriz inversa de una matriz inversible A es:
siendo los Aij los adjuntos de los elementos de la matriz, pero ATENCIÓN: Observe como la matriz de arriba está formada por la transpuesta de los adjuntosde los elementos de A. A (esa matriz suele llamarse "traspuesta de la adjunta de A" es decir: tA*).
Vamos a hallar, como ejemplo, la inversa de la matriz:
teniendo en cuenta que su determinante es, |A| = -49, y por tanto A es inversible, pasamos a hallar los adjuntos:
y por tanto, la matriz inversa de A es:
El alumno puede comprobarlo haciendo el producto A . A¯¹ y observar que se obtiene la matriz identidad de orden 3.
6.5 Rango de una matriz (cuadrada o no).
Sea una matriz (m ´ n):
antes de dar la definición de rango de A vamos a ver dos definiciones previas:
* Submatriz cuadrada (orden h) de A:
Es la matriz cuadrada (h ´ h) formada por los elementos comunes a h filas y h columnas, con h£n, h£m.
* Menores (orden h) de A:
Son los determinantes de las submatrices cuadradas (orden h) de A.
Entonces rango de la matriz A, r(A), es el número que expresa el orden del mayor Menor no nulo de la matriz A. (Atención a la anti-redundancia"mayor Menor"
 )
Por ejemplo, veamos el rango de la matriz A:
se tiene que r(A) = 3, puesto que al menos hay un menor de orden 3 no nulo:
y por supuesto no es posible tomar menores de orden 4 ó mayores porque sólo hay tres filas.
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MATRICES
Fracciones
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b que representamos de la siguiente forma:
b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
a, numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas.
- Tipos de fracciones
ü Fracciones propias
Entonces, una fracción propia es sólo una fracción donde el numerador (el número de arriba) es más pequeño que el denominador (el número de abajo). Aquí tienes algunos ejemplos de fracciones propias:
ü Fracciones impropias
Puedes usar una fracción impropia o una fracción mixta para escribir la misma cantidad. Por ejemplo 1 3/4 = 7/4, aquí se ve:
Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.
Número mixto es el que está compuesto de parte entera y fraccionaria.
Para pasar de número mixto a fracción, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.
Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.
ü Fracciones unitarias
Ya sabemos una fracción o quebrado, es un número que se logra obtener al dividir un total es partes iguales. Se representan matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro, al número superior lo llamamos numerador, mientras al número de la parte inferior lo llamamos denominador. El conjunto de todas las fracciones equivalentes, (o sea fracciones diferentes que representan el mismo valor) se llama número racional.
Existen muchas formas de clasificar fracciones, (propias, impropias, reducibles, irreducibles, etc. Etc.) Pero aquí nos limitaremos a ver que es una fracción unitaria.
ü Fracciones decimales
Una fracción decimal es aquella en la cual el número de abajo, o sea el denominador, es una potencia de diez, como sería 10; 100; 1000; 10000, etc. Es posible entonces escribir fracciones que sean decimales con un punto decimal y sin el denominador. Esto facilita enormemente el calcular las operaciones, tales como las sumas o multiplicaciones de las fracciones. Los números decimales son en si un tipo de número fraccionario. Por ejemplo, el decimal 0.5 representa exactamente la fracción 5/10. La fracción 43/100 es también la representación de un decimal, es lo mismo entonces que 0.43. Veamos algunos otros ejemplos más claros:
Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.
ü Fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan una misma cantidad. Por ejemplo, ¿cuál de las siguientes fracciones crees que será mayor?
ü Fracciones irreducibles
Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.
ü Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
- Comparación de fracciones
ü Fracciones con igual denominador
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor el que tiene menor numerador
ü Fracciones con igual numerador
Entre varias fracciones con igual numerador es mayor la que tiene el menor denominador. Es lo mismo que decir que es menor la que mayor denominador tiene.
Si observamos la superficie cada vez es mayor cuanto menor es el denominador.
Su valor decimal también aumenta cuanto menor es el denominador.
ü Con numeradores y denominadores distintos
En primer lugar, las tenemos que poner a común denominador.
Es menor la que tiene menor numerador
